Dans cet article, nous présentons plusieurs preuves (plus ou moins rigoureuses) de l'égalité $0,9999...=1$.
Preuve n°1
Partons de l'égalité $0,3333...=\frac{1}{3}$
On en déduit que : $3\times 0,3333...=3\times\frac{1}{3}$
Puis que $0,9999...=1$
Preuve n°2
Commençons par poser $x=0,9999...$
Ainsi, $10x=9,9999...$
Puis $10x-x=9,9999...-x$
Puis $9x=9,9999...-0,9999...$ car $x=0,9999...$
Finalement, $9x=9$ et donc $x=1$. On a montré que $x=0,9999...=1$.
Preuve n°3
Écrivons $0,9999...=0,9+0,09+0,009+\cdots=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^i}$.
Calculons maintenant ;
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^i}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,9\times\frac{1-(\frac{1}{10})^n}{1-\frac{1}{10}}=0,9\times\frac{1}{0,9}=1$
Finalement, $0,9999...=1$ !