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Annales

Les sujets et rapports de jury de cette section sont principalement issus du site du gouvernement.

Année Première épreuve Deuxième épreuve Rapport du jury
2018
2017
2016
2015
2014
2014 (session exceptionnelle)

Plans des leçons (version 2015 à adapter)

Voici une liste de propositions de plans pour les leçons de l'oral 1.

  • Leçon n°1 : Résolution de problèmes à l'aide de graphes

  • I. Problèmes de cheminement

    II. Recherche de plus court chemin

    III. Graphes probabilistes

    IV. Autres
    Document d'accompagnement Terminale ES

  • Leçon n°2 : Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle

  • I. Expérience aléatoire
       I.1. Définitions : expérience aléatoire, univers
       I.2. Événements
       I.3. Exemples

    II. Probabilités
       II.1. Définitions et propriétés
       II.2. Équiprobabilité

    III. Probabilités conditionnelles
       III.1. Définition
       III.2. Formule des probabilités totales et formule de Bayes
       III.3. Arbres pondérés
       III.4. Indépendance
       III.5. Exemples


  • Leçon n°3 : Variables aléatoires discrètes

  • I. Lois de probabilités et variables aléatoires discrètes

    II. Espérance

    III. Variance et écart-type

    IV. Variables aléatoires discrètes usuelles
       IV.1. Loi de Bernoulli
       IV.2. Loi binomiale
       IV.3. Loi de Poisson


  • Leçon n°4 : Loi binomiale

  • I. Loi de Bernoulli
       I.1. Épreuve de Bernoulli
       I.2. Loi de Bernoulli
       I.3. Espérance, variance et écart-type

    II. Schéma de Bernoulli, loi binomiale
       II.1. Exemple
       II.2. Loi binomiale
       II.3. Espérance, variance et écart-type
       II.4. Propriétés des coefficients binomiaux

    III. Applications
       III.1. Échantillonannge
       III.2. Approximation de la loi normale


  • Leçon n°5 : Variables aléatoires réelles à densité

  • I. Activité d'introduction

    II. Variables aléatoires réelles à densité, premières notions
       II.1. Densité
       II.2. Loi de probabilités

    III. Espérance, variance et écart-type

    IV. Variables aléatoires réelles à densité usuelles
       IV.1. Loi uniforme
       IV.2. Loi exponentielle
       IV.3. Loi normale

    V. Applications


  • Leçon n°6 : Lois uniformes, lois exponentielles

  • I. Lois uniformes
       I.1. Loi uniforme discrète
       I.2. Loi uniforme continue

    II. Lois exponentielles
       II.1. Définitions et propriétés
       II.2. Loi de durée de vie sans vieillissement

    III. Exemples et applications


  • Leçon n°7 : Lois normales

  • I. Loi normale centrée réduite
       I.1. Définition, propriétés et représentation graphique
       I.2. Calculs de probabilités
       I.3. Espérance, variance et écart-type
       I.4. Intervalle centré en $0$ de probabilité donnée

    II. Lois normales dans le cas général
       II.1. Définitions et représentations graphiques
       II.2. Espérance, variance et écart-type

    III. Approximation de la loi binomiale et intervalles de fluctuation asymptotique
       III.1. Théorème de Moivre-Laplace
       III.2. Intervalles centrés sur l'espérance
       III.3. Intervalles de fluctuation


  • Leçon n°8 : Marches aléatoires

  • I. Définitions et propriétés

    II. Étude asymptotique d'une marche aléatoire

    III. Exemples de marches aléatoires
       III.1. Urnes de Ehrenfest
       III.2. Marches aléatoires sur un tétraèdre
       III.3. Moteurs de recherche
    Document d'accompagnement
    Une proposition de plan
    Fichier Algobox pour simuler le saut d'une puce sur une droite
    Fichier Algobox pour simuler le saut d'une puce dans le plan
    Fichier Algobox sur les urnes de Ehrenfest

  • Leçon n°9 : Séries statistiques à une variable

  • I. Généralités

    II. Outils de synthèse et de représentation graphique

    III. Outils de caractérisation numérique
       III.1. Paramètres de position
       III.2. Paramètres de dispersion


  • Leçon n°10 : Séries statistiques à deux variables

  • I. Généralités
       I.1. Définitions
       I.2. Nuage de points
       I.3. Point moyen

    II. Caractéristiques numériques
       II.1. Covariance
       II.2. Coefficient de corrélation linéaire

    III. Ajustement affine
       III.1. Moindres carrés
       III.2. Droite d'ajustement

    IV. Autres types de régression
       IV.1. Ajustement exponentiel
       IV.2. Ajustement par une fonction puissance


  • Leçon n°11 : Intervalles de fluctuation, intervalles de confiance. Applications

  • I. Fluctuation d'échantillonnage
       I.1. Présentation du problème
       I.2. Mise en évidence de la fluctuation d'échantillonnage
       I.3. Définitions

    II. Intervalles de fluctuation
       II.1. Intervalle de fluctuation au seuil de $95%$ d'une proportion
       II.2. Résultat amélioré grâce à la loi binomiale
       II.3. Intervalle de fluctuation asymptotique
       II.4. Prise de décision

    III. Intervalle de confiance
       III.1. Définition
       III.2. Prise de décision

    IV. Applications


  • Leçon n°12 : Multiples, diviseurs, division euclidienne

  • I. Multiples et diviseurs dans $\mathbb{Z}$
       I.1. Définitions et exemples
       I.2. Propriétés
       I.3. Opérations sur les multiples

    II. Division euclidienne
       II.1. Théorème et définition
       II.2. Exemples

    III. Applications


  • Leçon n°13 : PGCD, égalité de Bézout

  • I. Plus Grand Diviseur Commun (PGCD)
       I.1. Définition et propriétés
       I.2. Algorithmes de calcul du PGCD

    II. Nombres premiers entre eux et égalité de Bézout
       II.1. Définition et propriétés
       II.2. Identité de Bézout
       II.3. Théorème de Bézout

    III. Applications
       III.1. Théorème de Gauss et corollaire
       III.2. Décomposition en facteurs premiers
       III.3. Équations diophantiennes


  • Leçon n°14 : Nombres premiers, décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

  • I. Activité d'approche

    II. Nombres premiers
       II.1. Définition
       II.2. Critère d'arrêt ou test de primalité
       II.3. Infinité
       II.4. Crible d'Ératosthène
       II.5. Théorème de Gauss et nombres premiers

    III. Décomposition et diviseurs d'un entier
       III.1. Théorème fondamental
       III.2. Diviseurs d'un entier

    IV. Applications


  • Leçon n°15 : Congruences dans $\mathbb{Z}$

  • I. Congruences dans $\mathbb{Z}$
       I.1. Activité d'introduction
       I.2. Définition et premières propriétés
       I.3. Théorème
       I.4. Compatibilité avec l'addition et la multiplication

    II. Applications
       II.1. Chiffrement affine
       II.2. Numéros INSEE
       II.3. Clé du RIB
       II.4. Chiffrement de Hill


  • Leçon n°16 : Équations du second degré

  • I. Définitions et mise sous forme canonique d'un trinôme
       I.1. Définition
       I.2. Limite finie
       I.3. Mise sous forme canonique

    II. Résolution dans $\mathbb{C}$ des équations de degré $2$ à coefficients réels
       II.1. Équations-produits
       II.2. Discriminant
       II.3. Résolution algébrique
       II.4. Résolution graphique

    III. Applications
       III.1. Nombre d'or
       III.2. Trajectoire d'une balle

    IV. Résolution d'équations de degré $2$ à coefficients complexes
       IV.1. Théorème
       IV.2. Exemple


  • Leçon n°17 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe, applications

  • I. Forme trigonométrique d'un nombre complexe
       I.1. Introduction
       I.2. Module et argument
       I.3. Forme trigonométrique
       I.4. Interprétation géométrique

    II. Notation exponentielle et propriétés
       II.1. Notation exponentielle
       II.2. Module et argument d'un produit
       II.3. Module et argument d'un quotient

    III. Applications
       III.1. Médiatrice
       III.2. Cercle
       III.3. Analyse fréquentielle des signaux


  • Leçon n°18 : Géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace


  • Leçon n°19 : Exemples d'utilisation d'un repère

  • I. Forme trigonométrique d'un nombre complexe
       I.1. Introduction
       I.2. Module et argument
       I.3. Forme trigonométrique
       I.4. Interprétation géométrique

    II. Notation exponentielle et propriétés
       II.1. Notation exponentielle
       II.2. Module et argument d'un produit
       II.3. Module et argument d'un quotient

    III. Applications
       III.1. Médiatrice
       III.2. Cercle
       III.3. Analyse fréquentielle des signaux


  • Leçon n°20 : Résolution de problèmes à l'aide de matrices

  • Document d'accompagnement

  • Leçon n°21 : Proportionnalité et linéarité. Applications


  • Leçon n°22 : Pourcentages, taux d'évolution, indices

  • I. Pourcentages
       I.1. Appliquer un taux de pourcentage
       I.2. Augmentation et diminution

    II. Évolutions
       II.1. Lien entre pourcentages et évolutions
       II.2. Évolutions successives
       II.3. Évolution réciproque

    III. Indices

    IV. Applications


  • Leçon n°23 : Systèmes d'équations et systèmes d'inéquations

  • I. Systèmes d'équations $2\times 2$
       I.1. Définition
       I.2. Résolutions algébriques
       I.3. Résolution graphique
       I.4. Exemples d'utilisation

    II. Systèmes d'inéquations
       II.1. Définition
       II.2. Résolution
       II.4. Exemples d'utilisation

    III. Systèmes linéaires de $n$ équations à $n$ inconnues
       III.1. Matrice associée à un système
       III.2. Résolution


  • Leçon n°24 : Problèmes conduisant à la résolution d'équations ou de systèmes d'équations


  • Leçon n°25 : Droites du plan

  • I. Définition d'une droite
       I.1. Définition intuitive
       I.2. Définition comme représentation graphique d'une fonction affine
       I.3. Définition vectorielle

    II. Équations de droites
       II.1. Équation cartésienne
       II.2. Équation paramétrique

    III. Intersection, parallélisme et orthogonalité
       III.1. Droites parallèles, droites sécantes
       III.2. Droites orthogonales
       III.3. Théorème d'intersection de trois droites

    IV. Droites remarquables
       IV.1. Médiatrices
       IV.2. Hauteurs
       IV.3. Médianes
       IV.4. Bissectrices
       IV.5. Droite des milieux


  • Leçon n°26 : Droites et plans de l'espace


  • Leçon n°27 : Droites remarquables du triangle

  • I. Droites remarquables d'un triangle quelconque
       I.1. Médiatrices et cercle circonscrit
       I.2. Hauteurs et orthocentre
       I.3. Médianes et centre de gravité
       I.4. Bissectrices et cercles inscrit et exinscrit

    II. Droites remarquables de triangles particuliers
       II.1. Dans un triangle rectangle
       II.2. Dans un triangle isocèle
       II.3. Dans un triangle équilatéral

    III. Applications
       III.1. Droite d'Euler
       III.2. Droite de Simson


  • Leçon n°28 : Translations, symétries axiales et rotations. Applications


  • Leçon n°29 : Cercles

  • I. Définitions du cercle
       I.1. Avec la distance au centre
       I.2. Caractérisation analytique

    II. Propriétés du cercle
       II.1. Périmètre et aire
       II.2. Positions relatives

    III. Théorèmes liés et cercles particuliers
       III.1. Angles au centre, angles inscrits
       III.2. Cercle circonscrit
       III.2. Cercle inscrit et cercle exinscrit
       III.2. Cercle trigonométrique


  • Leçon n°30 : Solides de l'espace et volumes

  • I. Généralités
       I.1. Définitions (solide et volume)
       I.2. Patrons
       I.3. Perspective cavalière

    II. Solides usuels
       II.1. Pavé droit
       II.2. Cylindre et prisme
       II.3. Pyramide et cône
       II.4. Sphère et boule

    III. Solides de Platon


  • Leçon n°31 : Produit scalaire


  • Leçon n°32 : Théorème de Thalès

  • I. Le cas particulier du théorème des milieux
       I.1. Théorème des milieux
       I.2. Agrandissement et réduction

    II. Le théorème de Thalès et sa réciproque

    III. Exercices et applications
       III.1. Exercices types
       III.2. Découper un segment en $n$ segments de même longueur
       III.3. Ménélaus


  • Leçon n°33 : Trigonométrie

  • I. Cosinus et Sinus : premières notions
       I.1. Enroulement de la droite numérique et définitions
       I.2. Mesure d'un angle orienté, mesure principale
       I.3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $\cos(x)=\cos(a)$ et $\sin(x)=\sin(a)$
       I.4. Formules d'addition et de duplication

    II. Étude des fonctions Sinus et Cosinus
       II.1. Dérivées
       II.2. Propriétés : parité et périodicité
       II.3. Représentations graphiques

    III. Applications


  • Leçon n°34 : Relations métriques et trigonométriques dans un triangle


  • Leçon n°35 : Problèmes de constructions géométriques


  • Leçon n°36 : Orthogonalité


  • Leçon n°37 : Suites monotones

  • I. Généralités sur les suites monotones
       I.1. Définitions et exemples
       I.2. Techniques d'étude de la monotonie

    II. Limites et monotonie
       II.1. Théorème de convergence
       II.2. Suite croissante non majorée

    III. Cas particuliers
       III.1. Suites arithmétiques
       III.2. Suites géométriques
       III.3. Suites adjacentes
       III.4. Suites arithmético-géométriques

    IV. Applications


  • Leçon n°38 : Limites de suites réelles

  • I. Limites de suites réelles
       I.1. Limite infinie
       I.2. Limite finie
       I.3. Suites qui n'ont pas de limite

    II. Théorèmes généraux
       II.1. Somme de limites
       II.2. Produit de limites
       II.3. Quotient de limites
       II.4. Formes indéterminées

    III. Théorèmes de comparaison
       III.1. Théorème de comparaison
       III.2. Théorème des gendarmes

    IV. Cas particuliers
       IV.1. Suites de la forme $(q^n)$
       IV.2. Suites arithmétiques et suites géométriques
       IV.3. Recherche de seuil


  • Leçon n°39 : Suites arithmétiques, suites géométriques

  • I. Généralités
       I.1. Suites arithmétiques
       I.2. Suites géométriques

    II. Sommes et convergence
       II.1. Sommes
       II.2. Convergences

    III. Suites arithmético-géométriques et suites homographiques

    IV. Applications


  • Leçon n°40 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence

  • I. Généralités
       I.1. Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence
       I.2. Représentation graphique
       I.3. Suites arithmétiques
       I.4. Suites géométriques
       I.5. Suites arithmético-géométriques

    II. Monotonie et convergence
       II.1. Des suites arithmétiques
       II.2. Des suites géométriques
       II.3. Des suites arithmético-géométriques
       II.4. Dans le cas général où $u_{n+1}=f(u_n)$

    III. Applications
       III.1. Demi-vie d'un médicament
       III.2. Placements financiers
       III.3. Approximation de $\sqrt{2}$ par la suite de Héron

    IV. Suites récurrentes linéaires d'ordre $2$


  • Leçon n°41 : Problèmes conduisant à l'étude de suites

  • I. Approximation de réels
       I.1. Approximation de $\pi$
       I.2. Approximation de $e$
       I.3. Approximation du nombre d'or

    II. Recherches de seuil

    III. Problèmes géométriques

    IV. Calculs approchés d'intégrales
       IV.1. Méthode des rectangles
       IV.2. Méthode des trapèzes

    V. Suites de matrices

    VI. En probabilités


  • Leçon n°42 : Limite d'une fonction réelle de variable réelle

  • I. Définitions et opérations sur les limites
       I.1. Limites en $\pm\infty$
       I.2. Limite en un réel
       I.3. Opérations sur les limites
       I.4. Limites usuelles

    II. Limites et comparaison
       II.1. Limites par majoration
       II.2. Limites par minoration
       II.3. Limites par encadrement

    III. Asymptotes
       III.1. Asymptotes horizontales
       III.2. Asymptotes verticales

    IV. Applications
       IV.1. Définition de la continuité
       IV.2. Définition (formelle) du nombre dérivé


  • Leçon n°43 : Théorème des valeurs intermédiaires

  • I. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

    II. Applications et conséquences
       II.1. Théorème de la bijection et corollaire
       II.2. Théorème du point fixe
       II.3. Image d'un intervalle par une fonction continue
       II.4. Existence d'une racine d'un polnyôme de degré impair

    III. Méthodes d'encadrement
       III.1. Balayage
       III.2. Dichotomie


  • Leçon n°44 : Nombre dérivé, fonction dérivée

  • I. Activité d'introduction

    II. Nombre dérivé
       II.1. Taux d'accroissement
       II.2. Nombre dérivée de $f$ en $a$
       II.3. Tangentes

    III. Fonction dérivée
       III.1. Définition
       III.2. Dérivées usuelles

    IV. Applications


  • Leçon n°45 : Applications de la dérivation

  • I. Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
       I.1. Théorème
       I.2. Étude de la fonction

    II. Extremum
       II.1. Définition
       II.2. Résolution d'inégalités

    III. Convexité
       III.1. Convexité et sens de variation de $f'$
       III.2. Convexité et signe de $f''$


  • Leçon n°46 : Fonctions polynômes du second degré

  • I. Fonctions polynômes de degré $2$
       I.1. Définition et forme canonique
       I.2. Variations
       I.3. Courbes représentatives

    II. Équations de degré $2$
       II.1. Discriminant
       II.2. Résolution de $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$)

    III. Signe du trinôme
       III.1. Signe de $ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$)
       III.2. Résolution d'inéquations

    IV. Applications
       IV.1. Problèmes d'optimisation
       IV.2. Équations bicarrées


  • Leçon n°47 : Fonctions exponentielles

  • I. La fonction exponentielle : premières notions
       I.1. Théorème et définition
       I.2. Propriétés algébriques

    II. Étude de la fonction exponentielle
       II.1. Variations
       II.2. Limites
       II.3. Courbe représentative

    III. Fonctions exponentielles de base $a$ (avec $a>0$)
       III.1. Définition
       III.2. Propriétés
       III.3. Variations selon les valeurs de $a$


  • Leçon n°48 : Fonctions logarithmes

  • I. Fonction logarithmé népérien
       I.1. Introduction et définition
       I.2. Étude de la fonction logarithme népérien
       I.3. Dérivée(s)

    II. Fonctions logarithmes de base $a$
       II.1. Introduction par des problèmes
       II.2. Définitions et propriétés
       II.3. Étude des fonctions logarithmes de base $a$


  • Leçon n°49 : Croissance comparée des fonctions réelles $x\mapsto e^x$, $x\mapsto x^a$ ($x\in\mathbb{R}^*$) et $x\mapsto ln(x)$

  • I. Introduction et rappels
       I.1. Intérêt des croissances comparées
       I.2. Fonction exponentielle
       I.3. Fonction logarithme

    II. Croissance comparée des fonctions puissances et exponentielle

    III. Croissance comparée des fonctions puissances et logarithme

    IV. Applications


  • Leçon n°50 : Intégrales, primitives

  • I. Intégrale d'une fonction continue et positive
       I.1. Activité d'introduction
       I.2. Définitions et propriétés
       I.3. Théorème fondamental

    II. Primitives d'une fonction continue
       II.1. Définition et lien entre primitives
       II.2. Existence
       II.3. Calculs de primitives

    III. Intégrale d'une fonction continue
       III.1. Extension de la notion d'intégrale
       III.2. Propriétés
       III.3. Valeur moyenne

    IV. Applications
    Une proposition de plan
    Fichier Géogébra pour l'activité d'introduction
    Fichier Algobox pour l'activité d'introduction

  • Leçon n°51 : Exemples de calcul d'intégrales (valeurs exactes ou valeurs approchées)

  • I. Exemples de calculs exacts d'intégrales par primitivation
       I.1. Primitives de fonctions usuelles
       I.2. Fonctions de la forme $P(x)e^{ax}$ avec $P\in\mathbb{R}[X]$ et $a\in\mathbb{R}$
       I.3. Formules de volumes
       I.4. Décomposition en éléments simples

    II. Exemples de calculs exacts d'intégrales sans primitivation directe
       II.1. Avec la relation de Chasles
       II.2. Par encadrement
       II.3. Intégration par parties
       II.4. Changement de variables

    III. Exemples de calculs approchés d'intégrales
       III.1. Méthode des rectangles
       III.2. Méthode des trapèzes
       III.3. Méthode du point-milieu
       III.4. Méthode de Monte-Carlo
       III.5. Méthode de Simpson


  • Leçon n°52 : Problèmes conduisant à des équations différentielles

  • I. Problèmes conduisant à l'étude d'équations différentielles d'ordre $1$ sans second membre
       I.1. Désintégration radioactive
       I.2. Décharge d'un condensateur dans un circuit RC

    II. Problèmes conduisant à l'étude d'équations différentielles d'ordre $1$ avec second membre
       II.1. Vitesse d'un parachute avec frottements
       II.2. Variations de la température d'un corps à température constante

    III. Problèmes conduisant à l'étude d'équations différentielles d'ordre $2$ à coefficients constants
       III.1. Oscillation sans frottements
       III.2. Oscillation avec frottements
       III.3. Circuit RLC


  • Leçon n°53 : Problèmes conduisant à l'étude de fonctions

  • I. Problèmes d'optimisation

    II. Problèmes de comparaison

    III. Problèmes utilisant le sens de variation

    IV. Étude du comportement asymptotique

    V. Étude du comportement local

    VI. En mathématiques


  • Leçon n°54 : Aires

  • I. Généralités sur les aires
       I.1. Définition et propriétés
       I.2. Comparaison d'aires
       I.3. Unités de mesure
       I.4. Formules d'aires

    II. Intégration : aire sous la courbe

    III. Applications
       III.1. Preuve de Pythagore
       III.2. Preuve de Thalès
       III.3. Preuve des identités remarquables


  • Leçon n°55 : Exemples d'algorithmes

  • I. Introduction
       I.1. Algorithmique dans les programmes
       I.2. Des algorithmes dans tous les domaines !

    II. En arithmétique
       II.1. Liste diviseurs
       II.2. Algorithme d'Euclide
       II.3. Algorithme des soustractions successives

    III. En géométrie
       III.1. Programmes de construction
       III.2. Géométrie repérée : coordonnées de vecteurs et d'un milieu

    IV. Étude de fonctions
       IV.1. Tracés de courbes
       IV.2. Équations de degré $2$
       IV.3. Comparaisons de fonctions
       IV.4. TVI et dichotomie

    V. Suites
       V.1. Calcul d'un terme de rang donné
       V.2. Limite infinie
       V.3. Sommes

    VI. Suites
       VI.1. Simulation de tirages
       VI.2. Intervalles de fluctuation

    VI. Graphes


  • Leçon n°56 : Exemples d'utilisation d'un tableur

  • I. Calculer à l'aide d'un tableur
       I.1. Calculs du PGCD
       I.2. Termes d'une suite définie par récurrence
       I.3. Statistiques
       I.4. Loi binomiale et loi normale

    II. Conjecturer à l'aide d'un tableur
       II.1. Limites
       II.2. Comparaisons

    III. Représenter à l'aide d'un tableur
       III.1. Statistiques
       III.2. Suites
       III.3. Fonctions

    IV. Simuler à l'aide d'un tableur
       IV.1. Probabilités
       IV.2. Échantillonnage


  • Leçon n°57 : Différents types de raisonnement en mathématiques

  • I. Introduction

    II. Raisonnement direct

    III. Raisonnement par contre-exemple

    IV. Raisonnement par disjonction de cas

    V. Raisonnement par contraposition

    VI. Raisonnement par l'absurde

    VII. Raisonnement par récurrence

    VIII. Autres raisonnements
    Document d'accompagnement "Raisonnement et Démonstration au Collège"
    Une proposition de plan

  • Leçon n°58 : Applications des mathématiques à d'autes disciplines

  • I. En physique
       I.1. Chute d'un solide
       I.2. Radioactivité
       I.3. Oscillateur mécanique

    II. En chimie : mesure du pH

    III. En SVT
       III.1. Demi-vie d'un médicament
       III.2. Évolutions de populations
       III.3. Génétique

    IV. En économie
       IV.1. Placements financiers
       IV.2. Problème du voyageur de commerce

    V. En informatique (chiffrement)