Sommaire

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  1. Un peu d'arithmétique
  2. Arithmétique et fractions
  3. Additionner et soustraire des fractions

1. Un peu d'arithmétique

a) Critères de divisibilité

Un nombre entier est divisible :
  • par $2$ si son chiffre des unités est pair.
  • par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
  • par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.
  • par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
  • par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
  • par $10$ si son chiffre des unités est $0$.

  • Exemples

    a) $278$ est divisible par $2$ car $8$ est pair.
    b) $159$ est divisible par $3$ car $1+5+9=15$ qui est divisible par $3$.

    b) Vocabulaire sur un exemple

    $15$ est divisible par $3$ et par $5$. On dit que :
  • $3$ et $5$ sont des diviseurs de $15$.
  • $15$ est un multiple de $3$ et de $5$.

  • c) Nombres premiers

    Définition

    Un nombre est premier s'il possède exactement deux diviseurs qui sont $1$ et lui-même.

    Exemples

    $7$ est un nombre premier car ses seuls diviseurs sont $1$ et $7$. En revanche, $15$ n'est pas un nombre premier car ses diviseurs sont $1$ ; $3$ ; $5$ et $15$.

    $1$ n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur. Il existe une infinité de nombres premiers !
    Voici le début de la liste : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ ; $13$ ; $17$ ; $19$ ; $23$ ; $29$ ; ...

    2. Arithmétique et fractions

    a) Décomposition en produits de facteurs premiers

    Quand on écrit $12=2\times 2\times 3$, on dit qu'on a fait une décomposition du nombre $12$ en produits de facteurs premiers car chacun des facteurs est un nombre premier.

    Méthode : décomposition en produits de facteurs premiers

    Nous allons décomposer $84$ en produits de facteurs premiers. Pour cette méthode, il est important de connaître le début de la liste des nombres premiers.

    b) Simplifier une fraction

    Pour simplifier une fraction, on peut décomposer son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers.

    Exemple

    Nous allons simplifier $\frac{153}{85}$. On commence par décomposer son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers :


    On a $153=3\times 3\times 17$ et $85=5\times 17$ donc $\frac{153}{85}=\frac{3\times 3\times 17}{5\times 17}=\frac{3\times 3}{5}=\frac{9}{5}$.

    3. Additionner et soustraire des fractions

    a) Si les dénominateurs sont égaux

    La somme de deux fractions qui ont le même dénominateur est une fraction qui a le même dénominateur et dont le numérateur est la somme des deux numérateurs.

    Exemple

    On veut calculer $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}$ :

    De façon similaire, on peut soutraire deux fractions de même dénominateur. Par exemple, $\frac{10}{7}-\frac{8}{7}=\frac{10-8}{7}=\frac{2}{7}$.

    b) Si les dénominateurs sont différents

    Pour additionner ou soustraire des fractions qui ont des dénominateurs différents, on transforme ces fractions pour qu'elles aient le même dénominateur puis on applique la méthode précédente.

    Exemple

    On souhaite calculer $\frac{3}{8}+\frac{1}{4}$ :