Sommaire
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1. Vocabulaire
a) Nombres relatifs, nombres positifs et nombres négatifs
Un nombre relatif est formé de deux éléments : un signe (+ ou -) et un nombre appelé distance à zéro.
Exemples
$+5$ est un nombre relatif. Son signe est $+$ et sa distance à zéro est $5$. $-6$ est un nombre relatif. Son signe est $-$ et sa distance à zéro est $6$.
Un nombre relatif avec un signe $+$ est appelé un nombre positif. Un nombre relatif avec un signe $-$ est appelé un nombre négatif. Les nombres positifs s'écrivent souvent sans le signe $+$.
Exemples
$+5$ est un nombre positif et $-6$ est un nombre négatif. $+5$ peut également s'écrire $5$ et c'est toujours un nombre positif.
Le nombre $0$ est le seul nombre relatif qui soit à la fois positif et négatif.
b) Nombres opposés
Deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro mais des signes contraires sont appelés des nombres opposés.
Exemple
$-9$ et $+9$ sont des nombres opposés. On peut aussi dire que $+9$ est l'opposé de $-9$ (ou que $-9$ est l'opposé de $+9$).
2. Repérage et comparaison
a) Droite graduée, repérage et comparaison
Un point sur une droite peut être repéré par un nombre relatif. Ce nombre est appelé l'abscisse de ce point.
Exemple
L'abscisse de A est (+4). On peut noter A(+4).
L'abscisse de C est (-2). On peut noter C(-2).
En utilisant la droite graduée, on peut comparer facilement deux nombres relatifs (dire lequel est le plus grand). En effet, plus un nombre est à droite de la droite, plus il est grand. Inversement, plus un nombre est à gauche de la droite, plus il est petit. On pourra également utiliser la règle suivante.
Pour comparer deux nombres relatifs, on distingue trois cas :Exemples
$(+3)<(+9)$ en utilisant le premier point de la règle. $(+5)>(-2)$ en utilisant le deuxième point de la règle. $(-19)<(-5)$ en utilisant le troisième point de la règle.
b) Repère orthogonal
Un repère orthogonal du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires dont l'intersection est appelée l'origine. La droite horizontale s'appelle l'axe des abscisses et la droite verticale est appelé l'axe des ordonnées.
Dans le repère orthogonal ci-dessus, le point $A$ a pour abscisse $(+3)$ et pour ordonnée $(-1)$. On note $A(+3;-1)$. De la même façon, le point $B$ a pour abscisse $(-2)$ et pour ordonnée $(+4)$. On note $B(-2;+4)$.
3. Calculer avec des nombres relatifs
On peut effectuer différents types de calculs avec les nombres relatifs : addition, soustraction, multiplication, division. Les priorités opératoires sont également valables avec les nombres relatifs. En cinquième, on apprendra à additionner et soustraire des nombres relatifs.
a) Additionner des nombres relatifs
Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme est le nombre relatif de même signe dont la distance à zéro est la somme des distances à zéro de ces deux nombres.
Exemples
$(+5)+(+8)=(+13)$La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est le nombre relatif qui a :
$(-2)+(-7)=(-9)$
Exemples
$(-3)+(+9)=(+6)$ car $9>3$ donc la somme a pour signe $+$ et $9-3=6$
$(+4)+(-11)=(-7)$ car $11>4$ donc la somme a pour signe $-$ et $11-4=7$
Nous pouvons faire deux remarques concernant l'addition des nombres relatifs. Tout d'abord, elle est commutative. Par exemple, $(+2)+(-5)=(-5)+(+2)=-3$. D'autre part, des règles de simplification d'écriture sont souvent utilisées : on peut supprimer les signes d’addition et les parenthèses autour des nombres et on peut supprimer le signe $+$ devant un nombre s’il se trouve en début de ligne.
Exemples
$A=(+5)+(-8)+(+3)$
$A=+5-8+3$
$A=5-8+3$
b) Soustraire des nombres relatifs
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Exemples
$A=(+7)-(+3)=(+7)+(-3)=+4$ au lieu de soustraire $(+3)$, on a ajouté $(-3)$
$B=(+4)-(-6)=(+4)+(+6)=+10$ au lieu de soustraire $(-6)$, on a ajouté $(+6)$
c) Enchaînement d'additions et de soustractions
Pour calculer un enchaînement de ces deux opérations, on transforme les soustractions en additions puis on effectue le calcul.
Exemples
$A=(+7)-(-5)+(-8)-(+2)$
$A=(+7)+(+5)+(-8)+(-2)$ on a transformé les soustractions en additions en faisant attention à changer les signes
$A=(+12)+(-10)=-2$ puis on a effectué le calcul