Sommaire
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- Reconnaître une situation de proportionnalité
- Compléter un tableau de proportionnalité
- Pourcentages
- Échelles
1. Reconnaître une situation de proportionnalité
Définitions
Deux grandeurs sont dites proportionnelles si l'on peut passer des valeurs de l'une à celles de l'autre en multipliant par le même nombre. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.
Exemple fondamental
Des pommes sont vendues à 2,30 € le kilogramme. Les grandeurs en jeu dans cette situation sont la masse (exprimée en kilogrammes) et le prix (exprimé en euros). Ces deux grandeurs sont proportionnelles. On peut représenter la situation à l'aide d'un tableau de proportionnalité.
Pour trouver le coefficient de proportionnalité, on cherche un nombre (que l'on peut noter $?$) tel que $0,5\times ?=1,15$ ou $1\times ?=2,30$, etc. Le coefficient de proportionnalité vaut donc $\frac{1,15}{0,5}=\frac{2,30}{1}=\cdots=2,3$.
Masse (en kg) 0,5 1 2 3 6 Prix (en €) 1,15 2,30 4,60 6,90 13,80
Remarque
Attention, toutes les situations ne sont pas forcément des situations de proportionnalité ! Par exemple, il n'y a pas proportionnalité entre le rayon d'un cercle et son aire.
2. Compléter un tableau de proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité à 4 cases, lorsque l'on connaît trois nombres, on peut calculer le quatrième nombre manquant. Ce nombre manquant est appelé une quatrième proportionnelle. Pour compléter un tableau de proportionnalité, on pourra utiliser différentes méthodes. La méthode dite des produits en croix ne sera étudiée qu'en classe de quatrième.
a) Méthode 1 : en utilisant le coefficient de proportionnalité
Considérons le tableau de proportionnalité suivant, que l'on souhaite compléter.
On remarque que la première colonne est la seule dont on connaît les deux valeurs. Pour déterminer le coefficient de proportionnalité on calcule le quotient de ces deux valeurs : $\frac{20}{4}=5$.
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est donc égal à 5. On peut alors compléter les valeurs de la seconde ligne en multipliant les valeurs de la première ligne par 5. On peut aussi compléter les valeurs de la première ligne en divisant celles de la seconde par 5.
b) Méthode 2 : En utilisant les propriétés des colonnes
Considérons le tableau de proportionnalité suivant, que l'on souhaite compléter.
Première propriété des colonnes : Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner les valeurs de deux colonnes pour obtenir celles d'une troisième colonne. Ici, on remarque que 5 = 2 + 3, on en déduit que la valeur de la deuxième ligne de la troisième colonne est 7 + 10,5 soit 17,5.
Seconde propriété des colonnes : Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier les valeurs d'une même colonne par un même nombre non-nul pour obtenir les valeurs d'une deuxième colonne. Ici, comme 17,5 × 2 = 35, on en déduit que la valeur de la première ligne de la quatrième colonne est 10 car 5 × 2 = 10.
Finalement, on obtient le tableau complété ci-dessous.
3. Pourcentages
Dans cette partie de la leçon, on gardera en tête qu'un pourcentage est une manière d'exprimer la proportion d'une partie par rapport à un tout. On se ramène à un total égal à 100, dans les mêmes proportions.
a) Déterminer un pourcentage
Exemple
Un alliage pesant 240g contient 60g d'or. Quel est le pourcentage d'or de cet alliage ? Utilisons un tableau de proportionnalité pour représenter la situation.
On complète le tableau de proportionnalité avec la méthode la plus appropriée. Par exemple, on peut déterminer le coefficient de proportionnalité en calculant 240 ÷ 60 = 4. On complète la dernière case en calculant 100 ÷ 4 = 25. Donc il y a 25% d'or dans cet alliage.
Masse d'or (en grammes) 60 ? Masse totale (en grammes) 240 100
b) Appliquer un pourcentage
Exemple
Il y a 5 % des élèves du collège qui jouent au basket. Cela signifie que s'il y avait 100 élèves dans le collège, alors 5 joueraient au basket. En réalité, il y a 540 élèves dans le collège. Combien d'élèves jouent au basket ? Représentons la situation à l'aide d'un tableau de proportionnalité.
Pour obtenir le nombre d'élèves qui jouent au basket, on multiplie 540 par $\frac{5}{100}$. On obtient 540 × 0,05 = 27. On peut aussi utiliser les autres méthodes connues pour compléter ce tableau de proportionnalité.
Nombre d'élèves jouant au basket 5 ? Nombre total d'élèves 100 540
c) Remarques importantes
Il existe des techniques efficaces pour déterminer ou appliquer un pourcentage. Celles-ci proviennent de l'utilisation des tableaux de proportionnalité.
Technique n°1
Appliquer a % à une quantité revient à multiplier cette quantité par $\frac{a}{100}$.
Exemple
Pour calculer 17 % de 200, on effectue $\frac{17}{100}\times 200$ soit $0,17\times 200 = 34$.
Technique n°2
Pour déterminer un pourcentage, on peut calculer une proportion.
Exemple
En reconsidérant l’alliage qui pèse 240 g et qui contient 60 g d’or, on peut déterminer le pourcentage d’or en calculant $\frac{60}{240} = 60\div 240 = 0,25$ donc il y a 25 % d’or dans cet alliage.
4. Échelles
Une application importante de la proportionnalité est celle des cartes ou dessins dits à l’échelle. Une carte (ou un dessin) est dit à l'échelle si les longueurs sur cette carte (ou ce dessin) sont proportionnelles aux longueurs réelles. L'échelle est le quotient de la longueur sur la carte par la longueur réelle, les deux longueurs étant exprimées dans la même unité.
Exemples
Dire qu'une carte est à l'échelle $\frac{1}{150000}$, cela signifie que 1 cm sur la carte correspond à 150 000 cm dans la réalité.
Dire qu'un schéma est à l'échelle $\frac{8}{1}$, cela signifie que 8 cm sur le dessin représente 1 cm dans la réalité.