Sommaire

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  1. Inégalité triangulaire
  2. Somme des mesures des angles d'un triangle
  3. Constructions de triangles
  4. Conséquences dans les triangles particuliers

1. Inégalité triangulaire

Propriété (inégalité triangulaire)

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Exemple

Dans le triangle ABC ci-dessous, on sait que :
  • $AB < AC + BC$
  • $AC < AB + BC$
  • $BC < AC + AB$
  • Remarquons que si le point B appartient à [AC], alors AC = AB + BC.

    Remarque importante

    Pour savoir si l'on peut construire un triangle dont les longueurs des côtés sont données, il suffit de vérifier que la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.

    Exemples

  • Est-il possible de construire un triangle dont les côtés mesurent 1 cm, 2 cm et 4 cm ?
    Réponse : Comme 4 > 2 + 1, on ne peut pas construire un triangle avec ces dimensions, d'après l'inégalité triangulaire.
  • Est-il possible de construire un triangle dont les côtés mesurent 2 cm, 3 cm et 4 cm ?
    Réponse : Comme 4 < 2 + 3, on peut construire un triangle avec ces dimensions, d'après l'inégalité triangulaire.
  • 2. Somme des mesures des angles d'un triangle

    Propriété

    Quel que soit le triangle que l'on choisit, la somme des mesures de ses trois angles est égale à 180°.

    Cette propriété permet de calculer des mesures d'angles dans un triangle où l'on connaît deux mesures d'angles sur les trois.

    Exemple

    ABC est un triangle tel que $\widehat{BAC}=40°$ et $\widehat{BCA}=30°$. Nous allons déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.

    Dans le triangle ABC, on sait que $\widehat{BAC}=40°$ et que $\widehat{BCA}=30°$. Or, la somme des mesures des trois angles d'un triangle est toujours égale à 180° (d'après la propriété), donc :
    $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{ABC}=180°$

    Dans cette égalité, on remplace par les mesures d'angles connues :
    $40°+30°+\widehat{ABC}=180°$

    On calcule :
    $70°+\widehat{ABC}=180°$

    Il reste à compléter l'addition à trou pour en déduire que l'angle $\widehat{ABC}$ mesure 110° (on peut aussi calculer 180 - 70 = 110).

    3. Constructions de triangles

    On peut construire un triangle à condition de connaître certaines données le concernant. Il est très fortement recommandé de faire un dessin à main levée avant de faire le dessin aux instruments !

    Cas n°1 : en connaissant trois côtés

    On peut construire un triangle si l'on connaît la longueur de ses trois côtés. Par exemple, on souhaite construire le triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 4 cm et AC = 3 cm. L'inégalité triangulaire nous assure de la constructibilité de ce triangle car 5 < 4 + 3.

    On commence par construire le segment [AB] tel que AB = 5 cm.

    On trace le cercle de centre A et de rayon 3 cm.

    On trace le cercle de centre B et de rayon 4 cm.

    Le point C est à l'intersection des deux cercles tracés précédemment. On trace les segments [AC] et [BC].

    Cas n°2 : en connaissant deux côtés et un angle

    On peut construire un triangle si l'on connaît la longueur de deux de ses côtés et la mesure de l'angle que ces deux côtés délimitent. Par exemple, on souhaite construire le triangle DEF tel que DE = 7 cm, DF = 4 cm et $\widehat{EDF}=73°$.

    On commence par construire le segment [DE] tel que DE = 7 cm.

    Avec le rapporteur, on construit l'angle $\widehat{EDF}$ tel que $\widehat{EDF}=73°$. On obtient une demi-droite.

    On trace le cercle de centre D et de rayon 4 cm.

    Le point F est à l'intersection de ce cercle et de la demi-droite construite précédemment. On trace les segments [DF] et [EF].

    Cas n°3 : en connaissant un côté et deux angles

    On peut construire un triangle si l'on connaît la longueur de l'un de ses côtés et la mesure des deux angles adjacents à ce côté. Par exemple, on souhaite construire le triangle GHI tel que GH = 5 cm, $\widehat{HGI}=60°$ et $\widehat{IHG}=42°$.

    On commence par construire le segment [GH] tel que GH = 5 cm.

    Avec le rapporteur, on construit l'angle $\widehat{HGI}$ tel que $\widehat{HGI}=60°$. On obtient une demi-droite.

    Avec le rapporteur, on construit l'angle $\widehat{IHG}$ tel que $\widehat{IHG}=42°$. On obtient une seconde demi-droite.

    Le point I est à l'intersection des deux demi-droites construites précédemment.

    4. Conséquences dans les triangles particuliers

    Les définitions de cette partie sont des rappels de sixième. Les propriétés sont des conséquences de la propriété énoncée dans la partie précédente.

    Définition

    Un triangle est dit isocèle s'il possède (au moins) deux côtés de la même longueur.

    Définition

    Un triangle est dit équilatéral s'il possède trois côtés de la même longueur.

    Définition

    Un triangle est dit rectangle s'il possède un angle droit.