Sommaire

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  1. La division euclidienne
  2. Arithmétique : divisibilité
  3. Division décimale
  4. Durées

1. La division euclidienne

Dans une division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers.



Dans une division euclidienne, on peut toujours écrire l'égalité suivante:
Dividende = Diviseur × Quotient + Reste, avec Reste < Diviseur.

Exemple

Pour la fête des voisins, Florian a préparé $170$ brochettes de poulet mariné pour $27$ personnes. Il se demande combien de brochettes aura chaque personne. Il cherche donc combien de fois il y a $27$ dans $170$ :
$170 = 27 × 6 + 8$ avec $8 < 27$
Chaque personne aura donc $6$ brochettes et il en restera $8$.

2. Arithmétique : divisibilité

a) Vocabulaire (sur un exemple)

Écrivons la division euclidienne de $126$ par $9$, on obtient $126 = 9 × 14 + 0$. Dans ce cas, le reste vaut $0$. On dit alors que :

  • $126$ est un multiple de $9$.
  • $9$ est un diviseur de $126$.
  • $126$ est divisible par $9$.
  • b) Critères de divisibilité

    Les critères de divisibilité permettent de savoir rapidement si un nombre est divisible par $2$, par $3$, par $4$, par $5$, par $9$ ou par $10$.

    Divisibilité par $2$ : Un nombre (entier) est divisible par $2$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
    $46$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $6$ (on peut écrire $46 = 2\times 23$).
    $23$ n’est pas divisible par $2$ car son chiffre des unités n’est pas $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
    Divisibilité par $3$ : Un nombre (entier) est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
    $126$ est divisible par $3$ car $1 + 2 + 6 = 9$ et $9 = 3\times 3$ (on peut écrire $126 = 3\times 42$).
    $125$ n’est pas divisible par $3$ car $1 + 2 + 5 = 8$ et $8$ n’est pas divisible par $3$.
    Divisibilité par $4$ : Un nombre (entier) est divisible par $4$ si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.
    $216$ est divisible par $4$ car $16$ est divisible par $4$ (on peut écrire $216 = 4\times 54$).
    $129$ n’est pas divisible par $4$ car $29$ n’est pas divisible par $4$.
    Divisibilité par $5$ : Un nombre (entier) est divisible par $5$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
    $890$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $0$ (on peut écrire $890 = 5\times 178$).
    $1021$ n’est pas divisible par $5$ car son chiffre des unités n’est pas $0$ ou $5$.
    Divisibilité par $9$ : Un nombre (entier) est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
    $594$ est divisible par $9$ car $5 + 9 + 4 = 18$ et $18 = 9\times 2$ (on peut écrire $594 = 9\times 66)$.
    $422$ n’est pas divisible par $9$ car $4 + 2 + 2 = 8$ et $8$ n’est pas divisible par $9$.
    Divisibilité par $10$ : Un nombre (entier) est divisible par $10$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$.
    $150$ est divisible par $10$ car son chiffre des unités est $0$ (on peut écrire $150 = 10 \times 15$).
    $288$ n’est pas divisible par $10$ car son chiffre des unités n’est pas $0$.

    3. Divisions décimales

    Quand on pose une division décimale, deux situations peuvent se présenter :

  • Soit l’un des restes obtenus est nul. Dans ce cas, on peut dire que « la division se termine ». Le quotient est alors un nombre décimal et on peut en donner une valeur exacte.
  • Soit les restes successifs semblent se répéter et on peut dire que « la division ne se termine pas ». Dans ce cas, le quotient n’est pas un nombre décimal. On peut alors en donner une valeur approchée.
  • a) Premier cas : la division se termine, valeur exacte


    b) Second cas : la division ne se termine pas, valeur approchée


    4. Durées

    a) Conversions de durées

    Dans $1$ année, il y a (environ) $365$ jours.
    Dans $1$ jour, il y a $24$ heures.
    Dans $1$ heure, il y a $60$ minutes.
    Dans $1$ minute il y a $60$ secondes.
    Ces informations permettent d’effectuer des conversions.

    Exemple n°1

    Combien y a-t-il de secondes dans $1$ h ?
    Réponse : 1 h = 60 min = 60 × 60 s = 3600 s.

    Exemple n°2

    Combien y a-t-il de minutes dans $4$ h $22$ min ?
    Réponse : 4 h = 4 × 60 min = 240 min donc 4 h 22 min = 240 min + 22 min = 262 min.

    Exemple n°3

    On peut convertir 41 000 secondes en heures, minutes, secondes.

    b) Opérations sur les durées

    On peut additionner et soustraire des durées mais en respectant certains règles.