Sommaire
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1. La division euclidienne
Dans une division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers.
Dans une division euclidienne, on peut toujours écrire l'égalité suivante:
Dividende = Diviseur × Quotient + Reste, avec Reste < Diviseur.
Exemple
Pour la fête des voisins, Florian a préparé $170$ brochettes de poulet mariné pour $27$ personnes. Il se demande combien de brochettes aura chaque personne. Il cherche donc combien de fois il y a $27$ dans $170$ :
$170 = 27 × 6 + 8$ avec $8 < 27$
Chaque personne aura donc $6$ brochettes et il en restera $8$.
2. Arithmétique : divisibilité
a) Vocabulaire (sur un exemple)
Écrivons la division euclidienne de $126$ par $9$, on obtient $126 = 9 × 14 + 0$. Dans ce cas, le reste vaut $0$. On dit alors que :
b) Critères de divisibilité
Les critères de divisibilité permettent de savoir rapidement si un nombre est divisible par $2$, par $3$, par $4$, par $5$, par $9$ ou par $10$.
Divisibilité par $2$ : Un nombre (entier) est divisible par $2$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
$46$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $6$ (on peut écrire $46 = 2\times 23$).
$23$ n’est pas divisible par $2$ car son chiffre des unités n’est pas $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
Divisibilité par $3$ : Un nombre (entier) est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
$126$ est divisible par $3$ car $1 + 2 + 6 = 9$ et $9 = 3\times 3$ (on peut écrire $126 = 3\times 42$).
$125$ n’est pas divisible par $3$ car $1 + 2 + 5 = 8$ et $8$ n’est pas divisible par $3$.
Divisibilité par $4$ : Un nombre (entier) est divisible par $4$ si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.
$216$ est divisible par $4$ car $16$ est divisible par $4$ (on peut écrire $216 = 4\times 54$).
$129$ n’est pas divisible par $4$ car $29$ n’est pas divisible par $4$.
Divisibilité par $5$ : Un nombre (entier) est divisible par $5$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
$890$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $0$ (on peut écrire $890 = 5\times 178$).
$1021$ n’est pas divisible par $5$ car son chiffre des unités n’est pas $0$ ou $5$.
Divisibilité par $9$ : Un nombre (entier) est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
$594$ est divisible par $9$ car $5 + 9 + 4 = 18$ et $18 = 9\times 2$ (on peut écrire $594 = 9\times 66)$.
$422$ n’est pas divisible par $9$ car $4 + 2 + 2 = 8$ et $8$ n’est pas divisible par $9$.
Divisibilité par $10$ : Un nombre (entier) est divisible par $10$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$.
$150$ est divisible par $10$ car son chiffre des unités est $0$ (on peut écrire $150 = 10 \times 15$).
$288$ n’est pas divisible par $10$ car son chiffre des unités n’est pas $0$.
3. Divisions décimales
Quand on pose une division décimale, deux situations peuvent se présenter :
a) Premier cas : la division se termine, valeur exacte
b) Second cas : la division ne se termine pas, valeur approchée
4. Durées
a) Conversions de durées
Dans $1$ année, il y a (environ) $365$ jours.
Dans $1$ jour, il y a $24$ heures.
Dans $1$ heure, il y a $60$ minutes.
Dans $1$ minute il y a $60$ secondes.
Ces informations permettent d’effectuer des conversions.
Exemple n°1
Combien y a-t-il de secondes dans $1$ h ?
Réponse : 1 h = 60 min = 60 × 60 s = 3600 s.
Exemple n°2
Combien y a-t-il de minutes dans $4$ h $22$ min ?
Réponse : 4 h = 4 × 60 min = 240 min donc 4 h 22 min = 240 min + 22 min = 262 min.
Exemple n°3
On peut convertir 41 000 secondes en heures, minutes, secondes.
b) Opérations sur les durées
On peut additionner et soustraire des durées mais en respectant certains règles.
