Sommaire

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  1. Distance d'un point à une droite
  2. La médiatrice d'un segment
  3. Hauteurs dans un triangle
  4. Distance entre deux droites parallèles

Dans ce chapitre, on s'intéresse à la distance entre deux objets mathématiques. La distance entre deux points est la longueur du plus court chemin entre ces deux points. Si $A$ et $B$ sont deux points, alors la distance de $A$ à $B$ est la longueur du segment $[AB]$. Cette longueur est notée $AB$.

1. Distance d'un point à une droite

La distance d'un point à une droite est la longueur du plus petit segment qui relie ce point et un point quelconque de la droite.



Remarque

La distance d'un point $A$ à une droite $(d)$ est la longueur du segment reliant le point $A$ au pied de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$.

2. La médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ qui passe par le milieu de $[AB]$.

Pour construire la médiatrice d'un segment $[AB]$, on peut suivre le programme de construction suivant.



  1. On construit le milieu du segment $[AB]$ et on l'appelle $I$.
  2. On trace la perpendiculaire à $[AB]$ passant par $I$.

Propriété

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Autrement dit, tout point qui appartient à la médiatrice d'un segment $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$. Par conséquent, on peut construire la médiatrice d'un segment à l'aide du compas, en suivant le programme de construction ci-dessous.



  1. On construit deux arcs de cercle de même rayon (supérieur à la moitié de la longueur du segment $[AB]$) et de centres $A$ et $B$. Ces arcs de cercle se coupent en un point $I$.
  2. De l’autre côté du segment $[AB]$, on construit deux arcs de cercle de même rayon et de centres $A$ et $B$. Les arcs de cercle se coupent en un point $J$.
  3. La médiatrice de $[AB]$ est la droite $(IJ)$.

3. Hauteur dans un triangle

Dans un triangle, la hauteur relative à un côté est la droite perpendiculaire à ce côté qui passe par le sommet opposé à ce côté.

Exemple

Dans le triangle $ABC$ ci-dessous, on a tracé la droite $(d)$ qui est la hauteur relative au côté $[AB]$.


On dit aussi que $(d)$ est la hauteur issue du sommet C.

Remarques

1. Un triangle possède trois hauteurs.
2. Une hauteur peut se retrouver à l'extérieur du triangle.
3. La distance d’un sommet d’un triangle au pied de la hauteur issue de ce sommet sera utile pour calculer l’aire d’un triangle.

4. Distance entre deux droites parallèles

La distance entre deux droites parallèles est la plus courte distance entre deux points quelconques de ces deux droites (un sur chaque droite).

Remarque

On considère deux droites parallèles $(d)$ et $(d’)$ et un point $A$ appartenant à $(d)$. La distance entre $(d)$ et $(d’)$ est la longueur $AB$, où $B$ est le point d’intersection de $(d’)$ et de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$.

Les étapes ci-dessous permettent d'illustrer la situation.