On étudie la production d’une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets. On choisit un sachet au hasard dans la production journalière. La masse de ce sachet, exprimée en gramme, est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 175$. De plus, une observation statistique a montré que $2$ % des sachets ont une masse inférieure ou égale à $170$ g, ce qui se traduit dans le modèle considéré par : $P(X\leq 170) = 0, 02$. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de l’évènement « la masse du sachet est comprise entre $170$ et $180$ grammes » ?

Les différents bonbons présents dans les sachets sont tous enrobés d’une couche de cire comestible. Ce procédé, qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B. Lorsqu’il est produit par la machine A, la probabilité qu’un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à $0,05$. Sur un échantillon aléatoire de $50$ bonbons issus de la machine A, quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’au moins $2$ bonbons soient déformés ?

La machine A produit un tiers des bonbons de l’usine. Le reste de la production est assuré par la machine B. Lorsqu’il est produit par la machine B, la probabilité qu’un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à $0,02$. Dans un test de contrôle, on prélève au hasard un bonbon dans l’ensemble de la production. Celui-ci est déformé. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit produit par la machine B ?

La durée de vie de fonctionnement, exprimée en jours, d’une machine servant à l’enrobage, est modélisée par une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle dont l’espérance est égale à $500$ jours. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la durée de fonctionnement de la machine soit inférieure ou égale à $300$ jours?

L’entreprise souhaite estimer la proportion de personnes de plus de $20$ ans parmi ses clients, au niveau de confiance de $95$ %, avec un intervalle d’amplitude inférieure à $0,05$. Elle interroge pour cela un échantillon aléatoire de clients. Quel est le nombre minimal de clients à interroger ?